DÊu cña c¸c nghiÖm cña mét ph­¬ng tr×nh bËc hai :
Gi¶ sö ph­¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (1) cã hai nghiÖm x1,x2
tõ ®Þnh lÝ viÐt ta cã :
NÕu P = x1.x2 =
( 0 th× x1,x2 tr¸i dÊu
NÕu P ( 0 th× x1,x2 cïng dÊu
NÕu
th× x1,x2 ®Òu d­¬ng
NÕu
th× x1,x2 ®Òu ©m.
§èi víi øng dông nµy, chñ yÕu ¸p dông trong bµi to¸n chøa tham sè. ë ®©y chØ nªu ph­¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n cã liªn quan ®Õn ®Þnh lÝ.
+ §iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu

+ §iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu
hoÆc a.c <0
+ §iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm d­¬ng

+ §iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m

=======================

Một số bài tập về phương trình bậc hai và hệ thức Viét


1. Cho phương trình x2 – (m + 2)x + 2m = 0 (1)
a. Giải phương trình với m = 1.
b. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn
(x1 + x2)2 – x1x2
5.
2. Tìm m để phương trình bậc hai 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1 – 4x2 = 11.
3. Cho phương trình x2 – (2k + 1)x + k2 + 2 = 0
a. Giải phương trình với k = 2.
b. Tìm k để phương trình có nghiệm này bằng nửa nghiệm kia.
c. Tìm k để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm nhỏ nhất.
4. Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 4 = 0
a. Giải phương trình với m = 2.
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x12 + x22 với x1; x2 là nghiệm của phương trình.
5. Cho phương trình x2 – 2mx – m2 – 1 = 0.
a. Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi m.
b. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1; x2 của phương trình độc lập đối với m.
c. Tìm m để
.
6. Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x +2m +3 = 0
a. Giải phương trình với m = - 3 .
b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn (x1 – x2)2 = 4.
7. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt đều nhỏ hơn 1 :
x2 – (m – 1)x – m = 0
8.Cho phương trình x2 – 5mx – 4m = 0
a. Giải phương trình với m = - 1 .
b. Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2.
Chứng minh rằng x12 + 5mx2 – 4m > 0 .
9. Cho phương trình m(x2 – 4x + 3) + 2(x – 1) = 0
a. Giải phương trình khi m =
.
b. Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi m.
c. Tìm m để phương trình có hai nghiệm nguyên.
10. Cho phương trình x2 + 2(m – 2)x – 2m + 1 = 0 (1)
a. Giải phương trình khi m =1.
b. Xác định m để phương trình có hai nghiệm dương.
11. Cho phương trình x2 – 3x + k – 1 = 0
Xác định k để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn
2x1 – 5x2 = - 8 .
x12 + x22 = 3 .
x12 – x22 = 15 .
12. Cho phương trình x2 – (2m + 1)x + m2 + m – 6 = 0 (1)
a. Giải phương trình khi m = 0.
b. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm âm .
c*. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn /x13 – x23/ = 50 .
13. Cho phương trình x2 + ax + 1 = 0 (1)
a. Giải phương trình với a = -2 .
b. Tìm giá trị của a để phương trình (1) có nghiệm.
c*. Tìm giá trị của a để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn

.
14. Cho phương trình x2 – (m +2)x + 2m = 0
a. Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn x1(1 – x2) + x2
4.

15. Cho phương trình x2 – 2x – m – 1 = 0 (1)
a. Giải phương trình với m = 2.
b. Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm dương x1; x2 thoả mãn
.
16. Cho phương trình x2 – ax + a – 1 = 0
a. Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực a.
b. Tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn x12 + x22 = 10.
17. Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 5 = 0
a. Giải phương trình với m = 2.
b. Chứng tỏ rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
c. Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn x1<218. Cho ph­¬ng tr×nh x2 - 2x -3m2 = 0 (1)
Gi¶i (1) khi m = 0
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu
c*.Chøng minh ph­¬ng tr×nh 3m2x2 + 2x - 1 = 0 ( m
0) lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt vµ mçi nghiÖm cña nã lµ nghÞch ®¶o cña mét nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1).
19. Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - 2x + m = 0 (1)
Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh (1)
a) Cã nghiÖm?
b) Cã hai nghiÖm d­¬ng
c) Cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ m·n : x12+x22= 6
20. Cho ph­¬ng tr×nh : x2 - 2(m - 3)x - 1 = 0 (m lµ tham sè)
X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh trªn cã mét nghiÖm lµ -1
Chøng tá r»ng ph­¬ng tr×nh trªn lu«n cã nghiÖm tr¸i dÊu víi mäi m.
21. Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - 2(m -1)x - 3 - m = 0 (*)
Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh (*) lu«n cã nghiÖm víi mäi m
X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 tho¶ m·n: x12+x22( 10
X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm x1, x2 sao cho B = x12+ x22 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt .
22. Cho phương trình x2 - 2(m+1)x + 2m + 10 = 0 (1)
a. Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) víi m = 4
b. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp
c. Khi ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm x1 , x2 t×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m.
23. Cho ph­¬ng tr×nh: x2 + (2m - 5)x - n = 0 (x lµ Èn) (1)
a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) khi m = 1 vµ n = 4.
b) T×m m vµ n ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm 2 vµ - 3.
c) Khi m = 5. T×m gi¸ trÞ nguyªn nhá nhÊt cña n ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm d­¬ng.
24. Cho phương trình (m + 1)x2 – 2(m + 2)x + m – 3 = 0 (1)
a. Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
b. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thoả mãn (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 .
25. Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 5 = 0
a. Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b. Tìm m để phương trình có nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì?
26. Chứng minh rằng nếu các hệ số của phương trình bậc hai:
x2 + ax + b = 0 và x2 +cx + d = 0 liên hệ với nhau bởi công thức a.c = 2(b +d) thì ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm.
27. Chứng minh rằng nếu a + b
2 thì ít nhất một trong hai phương trình sau đây có nghiệm : x2 +2ax + b = 0 ; x2 + 2bx + a = 0 .
28. Gọi x1 và x0 là nghiệm của phương trình x2 + ax + bc = 0 (1) và x2 và x0 là nghiệm của phương trình x2 + bx + ac = 0 (2), biết rằng ac
bc.
Chứng minh x1 và x2 là nghiệm của phương trình x2 + cx + ab = 0 .
29. Chứng minh rằng nếu tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c lấy giá trị nguyên với mọi giá trị nguyên của x thì 2a, a + b, c phải nguyên và ngược lại.
Hướng dẫn giải :
26. pt x2 + ax + b = 0 có
, pt x2 + cx + d = 0 có
.
có

Do đó suy ra đpcm.
27. pt x2 + 2ax + b = 0 có
, pt x2 + 2bx + a= 0 có
.
có
(do a + b
)
Do đó suy ra đpcm.
28. Vì x0 là nghiệm của phương trình (1) và (2) nên ta có x02 + ax0 + bc = 0 (3)
và x02 + bx0 + ac = 0 (4) .
Lấy (3) trừ (4) vế với vế ta có (a – b)x0 = (a – b)c, do đó x0 = c (
)
Theo hệ thức Viet ta có: x1.x0 = bc, x0.x2 = ac (c
0) . Do đó : x1 = b, x2 = a.
x0 = c là nghiệm của (1) nên: c2 + ac + bc = 0
c(a + b +c) = 0 vì c
0.
Do đó a + b + c = 0
a+ b = - c.
Ta có :

Suy ra x1 và x2 là nghiệm của phương trình x2 + cx + ab = 0 .
29. f(x) = ax2 + bx + c = ax2 - ax + ax + bx + c =

* Nếu f(x)
với mọi x
thì
f(0) = c
; f(1) = a + b + c
, suy ra a + b
;
f(2) = 2a + 2(a + b) + c
, nên a
.
* Ngược lại nếu 2a, b + c , c
thì với mọi x
,

nên f(x)
(đpcm).










Một số bài tập về hàm số y = ax2 (a
) và y = mx + n

1. Cho đưòng thẳng có phương trình 2(m – 1)x + (m – 2)y = 2 (d)
a. Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A; B.
b. Tìm toạ độ trung điểm của AB theo m .
2. Cho hàm số y = (k – 2)x + k + 3. Xác định k để :
a. hàm số là hàm bậc nhất đồng biến.
b. đồ thị là đường thẳng đi qua M(1; 3) .
c.đồ thị là đường thẳng cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích là 1.
3. Cho hai điểm A(1; 3), B(-2; 1)
a. Hãy lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A và B.
b. Hãy lập phương trình đường thẳng đi qua C(2; 1) và
+ song song với (d) .
+ vuông góc với (d) .
4. Cho parabol (P) : y = mx2 và đường thẳng (d) : y = nx + 4. Xác định m, n để (d) và (P) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x = - 2 .
5. Cho đường thẳng (d) có phương trình 2(m – 1)x + (m – 2)y = 2
a. Vẽ (d) với m =2.
b. Chứng minh rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
6. Cho parabol (P) : mx2 (m
0) và đường thẳng (d) : y = 2(m – 2)x + m – 3.
Tìm để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hành độ x1; x2 trái dấu.
7. Cho hàm số y = x2 có đồ thị là parabol (P).
Chứng tỏ rằng trên (P) có hai điểm A; B thuộc đường thẳng (d) : y = 2x + 3 .
8. Cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2x + m.
a. Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục toạ độ với m = 3 và tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d).
b. Tìm m để (d) tiếp xúc với (P). Xác định toạ độ tiếp điểm.
9. Cho parabol (P) :
và đường thẳng (d) : y = 2x – 2
a. Chứng minh rằng (d) tiếp xúc với (P).
b. Viết phương trình đường thẳng (d’) vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P) .













Một số bài tập về căn bậc hai – căn bậc ba

1. Rút gọn
a.
b.

2. Thực hiện phép tính
a.
b.

c.
d.
.
e.
f.
g.
h.

3. Tính
A =
B =

C =

4.+ Thu gọn
A =
; B =

+ Tính A + B
5. Chứng minh rằng số A =
là một số nguyên .
6. Chứng minh rằng số C =
là một số hữu tỉ .
7. Chứng minh đẳng thức
a.
b.

c.
.
8. Rút gọn biểu thức M =

9. Cho biểu thức P =

a. Rút gọn P;
b. Tìm x để P > 2;
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
10. Cho P =

a. Rút gọn P;
b. Tìm x để P < 1.
11. Cho P =

a. Rút gọn P ;
b. Chứng minh rằng P > 0 với mọi x để P có nghĩa ;
c. Tìm tất cả các giá trị x để P nhận giá trị nguyên.
12. Tính giá trị biểu thức M = 3a2 – 6a
+ 2 với a =
.
================

Một số bài tập về giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

Bài 1. Giải các phương trình
a.
; b.
;
c.
.
Bài 2. Giải các bất phương trình

;
;
;

Bài 3. Tìm số nguyên x thoả mãn cả hai b